Wenn Du ein Multimeter hast, dann messe mal die Spannung vom Akku.
Innerhalb einer Woche kommt es eigentlich nicht zu einer Tiefentladung. Entweder absoluter Zufall, dass Dein Akku nun ein Problem hat, oder es wurde beim Zerlegen und Zusammenbau des eingeschickten Gerätes etwas "falsch" gemacht. Dass der Akku lädt, ist eigentlich ein gutes Zeichen.

Eigentlich sollte ein Litium-Ionen-Akku sich gar nicht (fast nie) tiefentladen, da eine Sicherung die Teifentladung durch Verbraucher verhindern soll und selbst ein NiCd-Akku machts nicht in einer Woche. Und heute sind LiIon-Akkus absolut der Standard.
Die Antwort auf "Testen" wenn der Akku voll geladen ist steht noch aus.